Geometría analítica - La parábola

Autor: Ruddy Gilbert Rojas Vallejo

Asignatura: Matemáticas

Tema n°3: Geometría analítica - La parábola

Nivel: Sexto de secundaria

Objetivo: Resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos

Contenido:

1.- Parábola

“Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz “.

1. 1.- Ecuación analítica de la parábola:

Para deducir la ecuación tomamos una parábola de V(0,0) y eje de simetría el eje X.

Observaciónes: 1) Si la parábola se abre hacia la izquierda a ecuación es: y² = - 2px  (ver Gráfico Nº 24.

2) Si el foco está a la derecha de la directriz,  la parábola tiene sus ramas hacia la derecha. Ver Gráfico Nº 23

2) Si el foco está a la izquierda de la directriz,  la parábola tiene sus ramas hacia la izquierda. (Ver Grafico Nº 24.)

Observación: Si   x² = - 2py   la parábola  se abre hacia abajo. (ver gráfico nº 25)

Aclaración: I p/2 I es la distancia entre el vértice y el foco y entre el vértice y la directriz.

Observación: Se presentan los siguientes casos:

Bibliografía:

·         Lehman, C. (1995). Geometría Analítica. Editorial Limusa

·         Joseph H. Kindle, .Teoría y Problemas de Geometría Analítica, Plana y del Espacio

·         Kindle, J.H. (1970) Teoría y Problemas de Geometría Analítica. Mc Graw Hill

paginas relacionadas:

https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-3/la-circunferencia-1

http://www.geoan.com/conicas/parabola.html
h

Geometría analítica - La elipse

Autor: Ruddy Gilbert Rojas Vallejo

Asignatura: Matemáticas

Tema n°2: Geometría analítica - La elipse   

Nivel: Sexto de secundaria

Objetivo: Resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos

Contenido:

1.- Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Analíticamente:

 1. 1.- Ecuación analítica de la elipse:

Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c, 0) y F' (– c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: 

PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:

Ecuación Canónica de la Elipse con centro en C (0,0) y eje focal el eje x

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados  queda finalmente: 

1. 2.- Ecuaciones de la recta tangente y normal a la cónica en un punto  P₁(x₁,y₁),

Dada la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje horizontal

Bibliografía:

·         Lehman, C. (1995). Geometría Analítica. Editorial Limusa

·         Joseph H. Kindle, .Teoría y Problemas de Geometría Analítica, Plana y del Espacio

·         Kindle, J.H. (1970) Teoría y Problemas de Geometría Analítica. Mc Graw Hill

  paginas relacionadas:

http://www.geoan.com/conicas/elipse.html

http://www.roberprof.com/2009/09/08/elipse-elementos/

Geometría analítica - La circunferencia

Autor: Ruddy Gilbert Rojas Vallejo

Asignatura: Matemáticas

Tema n°1: Geometría analítica -  La circunferencia  

Nivel: Sexto de secundaria

Objetivo: Resolución de problemas geométricos utilizando métodos algebraicos

Contenido:

1.- Circunferencia

“Se denomina Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.”

Llamamos radio de la circunferencia a la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

1. 1.- Ecuación analítica de la circunferencia:

1. 2.- Rectas Secantes,  tangentes y externa a una circunferencia

Dada la ecuación general de la circunferencia    x² + y² + Dx + Ey + F = 0  y la ecuación de una recta:   

y = mx + b

Reemplazando  el valor y de la recta en la circunferencia obtenemos una ecuación de segundo grado tal que:

Si el radicando o discriminante cumple:

1. 3.- Ecuaciones de las Rectas Tangente y Normal en un punto P₀.

Para obtener  la ecuación de la recta  tangente  a una cónica, se desdobla la ecuación de la  misma remplazando 

  luego se remplaza una “x” y una “y” por las coordenadas del punto de tangencia P₀ (x₀, y₀) y se obtiene la ecuación de la recta tangente  

. 

Para obtener la ecuación de la recta normal, que es perpendicular a la recta tangente, se busca la pendiente

 Dada la  Ecuación  General  Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 y el punto  P₀(x₀,y₀), usamos la regla del desdoblamiento para obtener las ecuaciones de las rectas  tangente y normal.

Observación: Estas ecuaciones son válidas para todas las cónicas

Bibliografía:

•  Lehman, C. (1995). Geometría Analítica. Editorial Limusa
• Joseph H. Kindle, .Teoría y Problemas de Geometría Analítica, Plana y del Espacio
• Kindle, J.H. (1970) Teoría y Problemas de Geometría Analítica. Mc Graw Hill

Paginas relacionadas:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html

http://www.julioprofe.net/p/geometria-analitica.html

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm